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TP : 14 LE PENDULE SIMPLE

MÉCANI Q UE

Etant donné que nous n’avons que des val- Ѳ ̈ + g/l sin Ѳ = 0.
eurs exprimées en (ut) ⃗ et u ⃗� nous allons Nous poserons ici ⍵0 =�g/l.
également exprimer le poids en fonction de Notre équation devient alors : Ѳ ̈ + ⍵02 sin
(ut) ⃗ et( u) ⃗�. Ѳ = 0. Et pour des petites oscillations : Ѳ ̈ +
⍵02 Ѳ = 0.
P ⃗ = -mg.(uz) ⃗. Cependant nous pouvons Les solutions d’une telle équation sont :
décomposer ce vecteur en deux vecteurs Ѳ(t) =A cos (⍵0t) + B sin (⍵0t).
selon (ut) ⃗ et (u) ⃗�. : Nous poserons les conditions initial suiva-
ntes : Le pendule sera lâché d’un angle Ѳ0
et sans vitesse. Soit Ѳ(0) = Ѳ0 et Ѳ ̇(0) = 0.
(Ces conditions devront donc être
respectées lors de la partie expérimentale).
Soit Ѳ(0) = Ѳ0. Nous avons t = 0. Donc B
sin (⍵0t) = 0 puisque sin 0 = 0 et A cos
(⍵0t) = A puisque cos 0 = 1.
Donc Ѳ(0) = Ѳ0 = A.
Soit Ѳ ̇(0) = 0. Nous avons Ѳ ̇(t) = -A*⍵0*sin
(⍵0t) + B*⍵0*cos (⍵0t). Nous avons t = 0
donc -A*⍵0*sin (⍵0t) = 0 et B*⍵0*cos
(⍵0t) = B*⍵0.
Nous obtenons un triangle rectangle MNO Donc Ѳ ̇(0) = B*⍵0.= 0. Or ⍵0 � 0 donc B
avec comme hypoténuse le coté N dont la = 0.
longueur est égale a la norme du poids soit :
mg. Ici l’ange Ө est le même angle que celui Revenons à notre première équation : Ѳ(t)
vu sur la figure précédente. =A cos (⍵0t) + B sin (⍵0t).
Nous devons donc déterminer ici la valeur B = 0, donc B sin (⍵0t) = 0.
des normes de M et de O. Pour cela nous On a donc Ѳ(t) =A cos (⍵0t).
utiliserons les propriétés des triangles rect- Or A = Ѳ0, on a donc une équation finale :
angles : Ѳ(t) = Ѳ0 cos (⍵0t). = Ѳ0 cos (�g/l * t).
M = sin Ө * N = sin Ө * mg
O = cos Ө * N = cos Ө * mg.
D’après cette équation, le poids et l’angle de
Injectons ceci dans notre équation : départ n’affecte pas la période du pendule
-sin Ө * mg.(ut)⃗+cos Ө * mg.u⃗Ө -T.(ut) (en effet l’angle de départ est une constan-
⃗=mlӨ ̈.u⃗ѳ - mlӨ ̇².u ⃗t te et ne varie pas selon le temps). Seule la
longueur l de la barre agirait sur la période.
Le pendule se déplace selon u ⃗ѳ.Nous
allons donc projeter selon u ⃗ѳ : Nous allons maintenant vérifier cela expéri-
-sin Ө * mg =mlѲ ̈ mentalement.
Nous obtenons alors l’équation différenti-
elle :

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